개인 개발의 첫 프로젝트로 3D scanner의 핵심 알고리즘을 구현해 볼까 합니다. 3차원(3D) 측정 알고리즘에는 여러 가지가 있겠지만 산업현장에서 보편적으로 널리 쓰이는 모아레 알고리즘을 구현하는 목표로 이 프로젝트를 시작할까 합니다. 일단은 기본 원리를 알아야 하기에 자료조사(구글링)를 통해 공부한 내용을 먼저 정리했습니다.
모아레(Moire)의 개념
모아레(Moire)란 프랑스어로 고대 중국에서 수입한 비단의 물결무늬를 일컫는 말이라고 합니다. 비단을 짤 때 직조로 짜기때문에 가로/세로 격자 모양들이 서로 겹쳐지면 시각적으로 새로운 줄무늬가 보여서 이렇게 부른다고 합니다..
이런 모아레 무늬는 간단한 실험으로 확인해볼 수 있습니다. 그림판이나 ppt를 열어서 격자나 다음과 같은 모양의 패턴을 만듭니다. 그리고 이 둘을 비스듬하게 겹치면 다음과 같이 모아레 무늬가 형성된 것을 확인할 수 있습니다.
과거의 모아레 방식
초기 모아레 개념으로 3차원 측정을 시도할 때는 아래의 사진처럼 물체 표면 직접 모아레 무늬를 형성시키고 등고선을 이용해 높이를 계산했었습니다.
이 방식의 단점이 모아레 무늬의 중심을 찾아야하고 표면이 오목한지 볼록한지 알아야 합니다. 실제로 위 사진을 보면 전체적인 형상을 알고 있다는 가정하에서는 오목인지 볼록인지 판별할 수는 있겠지만 확대해서 생각하면 구분이 매우 힘들어 보이긴 합니다. 게다가 이렇게 어렵게 구분해서 3D 형상을 구해도 결과적으로 측정 분해능이 좋지 않습니다. 결국 새로운 방식을 찾아야 합니다.
현재의 모아레 방식(위상이동법)
현재의 방식은 위의 정적 모아레 방식에서 시간적 변화를 줍니다. 이를 위상이동법(Phase Shifting Method)이라고 부르는데 간섭계의 원리에서 차용한 것입니다. 간섭계의 원리에 대해서 잠깐 설명하자면 조명 빛을 BS(Beam Spliter)라고 불리는 광학 부품을 통과시킵니다. 그러면 빛이 두 갈래로 갈라지게 되고 하나는 거울 쪽으로 이동하고 다른 하나는 측정하고자 하는 물체 쪽으로 이동합니다. 이때 거울에서 반사되어 돌아오는 빛과 물체에서 반사되어 돌아오는 빛이 만나면 서로 광학적 간섭을 일으킵니다. 이 모습이 Screen이나 카메라에는 물결무늬 형태로 나타나게 되고 이를 간섭무늬라고 부릅니다. (설명이 점점 복잡하고 길어지네요;;;) 아무튼 이 상태에서 거울을 움직이면 광학적 원리에 의해 위상변화가 발생하고 이 위상 변화에 의한 간섭무늬를 일정한 시간간격으로 측정하여 계산에 활용하는 방식입니다. 다음 그림은 위상 이동 간섭계의 원리를 나타냅니다.
알고리즘의 수학적 원리
간섭계 방식에서 알고리즘으로 구현하기 위해서는 결국 수학적 원리를 알아야 합니다.(벌써부터 머리가 아프네요 ㅠㅠ) 먼저 위상이동법에 대해서 정리를 하겠습니다. 다음은 4-frame 위상이동법이라고 불리는 방법입니다. (4-frame이란 일정한 시간간격으로 찍은 4장의 간섭무늬 이미지를 이용하는 방법입니다.) 4장의 간섭무늬 이미지를 수식으로 풀어서 유도하면 다음과 같이 됩니다. (티스토리 블로그는 수식을 표현하기 힘드네요;; 그래서 이미지로 첨부합니다.)
이 처럼 위상 이동법을 이용하면 각 지점에서 간섭무늬의 위상을 쉽게(?) 구할 수 있기 때문에 옛날 방식처럼 이미지의 중심을 찾고 오목인지 볼록인지 판별하는 행위를 할 필요가 없습니다.
영사식 위상이동법(Projection phase shifting method)
간섭계의 간섭무늬와는 다르게 영사식 모아레 패턴은 광축 방향으로 sin 또는 cos패턴을 형성하지는 않습니다. 따라서 간섭계의 방식을 적용하기 위해서는 기하학적인 방식으로 광축 방향의 성분을 구해야 합니다. Projector에 의해 패턴을 조사하면 아래와 같은 기하학적인 관계가 성립합니다.
두 개의 닮은꼴 삼각형에서 다음과 같은 비례식 관계가 성립합니다.
따라서 광축 방향의 파장은 다음과 같습니다.
광축 방향이 높이 방향이므로 이 방향으로의 wave는 다음과 같이 표현됩니다.
따라서 위상과 높이 관계는 다음과 같습니다.
이제 알고리즘으로 구현하기 위해서는 (12), (17)식만 있으면 될 것 같습니다. 유도과정은 복잡하지만 최종 수식은 간단하게 나타나므로 충분히 구현할 수 있다는 생각이 듭니다.^^
[참고]
1. H. Takasaki, "Moire topography, " Appl. Opt. 9,1467-72, 1970
2.D. Meadows, W. Johnson, and J. Allen, "Generation of surface contours by moire patterns, " Appl. Opt. 9,942-7, 1970.
3. J.A.N. Buytaert and J.J.J. Dirckx, "Phase-shifting Moire topography using optical demodulation on liquid crystal matrices, " Opt. Lasers Eng. 48,172-181, 2010
4. Han, B., 1998, Recent Advancements of Moire and Microscopic Moire Interferometry for Thermal Deformation Analysis of Microelectronics Devices
그림1. 출처 : https://www.selfquilt.com/FrontStore/m/goods/mGoodsView.phtml?iCategoryId=588&iGoodsId=161113-03>
그림3. 출처 : 3-D Reconstruction Using the Derivative Moiré Topography 논문에서 발췌
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